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题目
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(  )
A.
5
4

B. 5
C.
5
2

D.
5

提问时间:2020-06-13

答案
双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一条渐近线为y=
b
a
x

由方程组
y=
b
a
x
y=x2+1
,消去y,
x2-
b
a
x+1=0
有唯一解,
所以△=(
b
a
)2-4=0

所以
b
a
=2
e=
c
a
=
a2+b2
a
=
1+(
b
a
)2=
5

故选D
由双曲线方程求得双曲线的一条渐近线方程,与抛物线方程联立消去y,进而根据判别式等于0求得
b
a
,进而根据c=
a2+b2
求得
c
a
即离心率.

双曲线的简单性质.

本题主要考查了双曲线的简单性质.离心率问题是圆锥曲线中常考的题目,解决本题的关键是找到a和b或a和c或b和c的关系.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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