题目

证明（1) .两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) .两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) .一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) .两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) .两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) .一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数

提问时间：2020-06-13

答案

证明：1）设f(x),g(x)都是偶函数,
则有f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)
令F(x)=f(x)+g(x)
则F(-x)=f(-x)+g(-x)
=f(x)+g(x)
=F(x)
所以：两个偶函数相加所得的和为偶函数
2）设f(x),g(x)都是奇函数,
则有f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)
令F(x)=f(x)+g(x)
则F(-x)=f(-x)+g(-x)
=-f(x)-g(x)
=-[f(x)+g(x)]
=-F(x)
所以：两个奇函数相加所得的和为奇函数
3）设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
则有f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
令F(x)=f(x)+g(x)
则F(-x)=f(-x)+g(-x)
=f(x)-g(x)
既不等于F(x),也不等于-F(x)
所以：一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数
4）设f(x),g(x)都是偶函数,
则有f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)
令F(x)=f(x)*g(x)
则F(-x)=f(-x)*g(-x)
=f(x)*g(x)
=F(x)
所以：两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) .设f(x),g(x)都是奇函数,
则有f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)
令F(x)=f(x)*g(x)
则F(-x)=f(-x)g(-x)
=-f(x)*[-g(x)]
=f(x)*g(x)
=F(x)
所以：两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) .设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
则有f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
令F(x)=f(x)*g(x)
则F(-x)=f(-x)*[g(-x)]
=f(x)*[-g(x)]
=-[f(x)*g(x)]
=-F(x)
所以：一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数