题目

已知函数f(x)=lg(x+

a

x+1

-1)，其中a是大于零的常数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；
（3）若∀x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．

提问时间：2020-06-13

答案

（1）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，
因为a＞0，故当a＞1时，定义域为（-1，+∞）；
当a=1时，定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；
当0＜a＜1时，定义域为(-1，-

1-a

)∪(

1-a

，+∞)．
（2）令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，
当a∈（1，4）时，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2≥2

a

-2，
当且仅当x+1=

a

x+1

即x=

a

-1时等号成立．
故f（x）的最小值为lg(2

a

-2)．
（3）∀x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，又x∈[0，+∞），
则a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞

9

4

．

（1）、函数f（x）的定义域要求）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，解这个分式不等式时，因为含有参数a，所以要分类讨论．
（2）、令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，当a∈（1，4）时，由函数f（x）的定义域可知x+1＞0，从而利用均值不等式求出函数f（x）的最小值．
（3）、由题设条件可知，x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，能推导出a＞（2-x）（x+1）恒成立，从而推导出实数a的取值范围．

本题考点：对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的定义域；基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评：本题是对数函数的综合题，难度较大，在解第（1）题时要注意对参数a进行妥类讨论，解第（2）题时要注意均值不等式的合理运用，解第（3）题时要进行合理转化．