题目

已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

提问时间：2020-06-13

答案

（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，f′(x)＝a−

1

x

＝

ax−1

x

．
①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数；
②若a＞0，令f′（x）=0得x=

1

a

．
在区间（0，

1

a

）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
在区间(

1

a

，+∞)上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；
②当a＞0时，f（x）的递增区间是(

1

a

，+∞)，递减区间是(0，

1

a

)．
（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0
解得a=1，经检验满足题意．
由已知f（x）≥bx-2，则

x+1−lnx

x

≥b
令g（x）=

x+1−lnx

x

=1+

1

x

−

lnx

x

，则g′(x)＝−

1

x2

−

1−lnx

x2

＝

lnx−2

x

易得g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，
所以g（x）_min=g(e2)＝1−

1

e2

，即b≤1−

1

e2

．