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题目
已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.

提问时间:2020-06-13

答案
(Ⅰ)在区间(0,+∞)上,f′(x)=a−
1
x
ax−1
x

①若a≤0,则f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;
②若a>0,令f′(x)=0得x=
1
a

在区间(0,
1
a
)上,f′(x)<0,函数f(x)是减函数;
在区间(
1
a
,+∞)
上,f′(x)>0,函数f(x)是增函数;
综上所述,①当a≤0时,f(x)的递减区间是(0,+∞),无递增区间;
②当a>0时,f(x)的递增区间是(
1
a
,+∞)
,递减区间是(0,
1
a
)

(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0
解得a=1,经检验满足题意.
由已知f(x)≥bx-2,则
x+1−lnx
x
≥b

令g(x)=
x+1−lnx
x
=1+
1
x
lnx
x
,则g(x)=−
1
x2
1−lnx
x2
lnx−2
x

易得g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增,
所以g(x)min=g(e2)=1−
1
e2
,即b≤1−
1
e2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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