题目

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

提问时间：2020-06-13

答案

（1）函数f（x）的定义域 为（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-a=

1−ax

x

                                          （2分）
因为a＞0，令f′（x）=

1

x

-a=0，可得x=

1

a

；
当0＜x＜

1

a

时，f′（x）=

1−ax

x

＞0；当x＞

1

a

时，f′（x）=

1−ax

x

＜0，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，

1

a

），单调递减区间为（

1

a

，+∞）．（4分）
（2）①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（6分）
②当

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（8分）
③当1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1时，函数f（x）在（1，

1

a

）上是增函数，在（

1

a

，2）上是减函数．
又∵f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当

1

2

＜a＜ln 2时，f（x）的最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，f（x）的最小值为f（2）=ln2-2a．（10分）
综上可知，当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．（12分）