题目

双曲线kx²-y²=1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程．

提问时间：2020-06-13

答案

由题意k＞0，c=

1+ 1 k

，
渐近线方程l为y=

k

x，
准线方程为x=±

1

kc

，于是A（

1

kc

，

k

kc

），
直线FA的方程为y=

k (x-c)

1-kc2

，
于是B（-

1

kc

，

1+kc2

k c(kc2-1)

）．
由B是AC中点，则x_C=2x_B-x_A=-

3

kc

，
y_C=2y_B-y_A=

3+kc2

k c(kc2-1)

．
将x_C、y_C代入方程kx²-y²=1，得
k²c⁴-10kc²+25=0．
解得k（1+

1

k

）=5，则k=4．
所以双曲线方程为：4x²-y²=1．

由题设条件求出A（

1

kc

，

k

kc

），B（-

1

kc

，

1+kc2

k c(kc2−1)

）．由B是AC中点，知x_C=2x_B-x_A=-

3

kc

，y_C=2y_B-y_A=

3+kc2

k c(kc2−1)

．
将x_C、y_C代入方程kx²-y²=1，得k²c⁴-10kc²+25=0．求出k的值，从而得到双曲线方程．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查双曲线的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．