题目

设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=

ax+1，−1≤x＜0       bx+2 x+1 ，0≤x≤1

其中a，b∈R．若f(

1

2

)=f(

3

2

)，则a+3b的值为______．

提问时间：2020-06-13

答案

∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=ax+1，−1≤x＜0   bx+2x+1，0≤x≤1，∴f（32）=f（-12）=1-12a，f（12）=b+43；又f(12)=f(32)，∴1-12a=b+43①又f（-1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②...

由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（

3

2

）=f（-

1

2

）=1-a=f（

1

2

）=

b+4

3

；再由f（-1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．

本题考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

考点点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．