题目

二项式定理的证明:（x-1/x）^2n的展开式的常数项是（-2）^n（1x3x5x…x（2n-1））/n!

提问时间：2020-06-13

答案

在展开式中,常数项的获得需要两个子项x与-1/x贡献相同的次数.由于一共2n次,所以只有在这两个子项都贡献n的时候能够获取常数项.故常数项为
{2n choose n}*(-1)^n
=(2n)!/n!/n!*(-1)^n
=(2n)!*(2n-1)!/n!/n!*(-1)^n
=(2^n)(n!)*(2n-1)!/n!/n!*(-1)^n
=(-2)^n*(2n-1)!/n!.
这里两个叹号是“双阶乘”记号：
偶数的双阶乘就是从这个偶数往下乘,只乘偶数,比如
6!=6*4*2.
奇数的双阶乘就是从这个奇数往下乘,只乘奇数,比如
7!=7*5*3*1.
证明中需要用到(2n)!=(2n)(2n-2)...2=2^n*n(n-1)...1=2^n*n!.