题目

已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,- 10 )． （1）求双曲线
已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,-
10)．
（1）求双曲线方程；
（2）设A点坐标为（0,2）,求双曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|．
是过点（4,-根号10）

提问时间：2020-06-13

答案

由题意设双曲线方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 =1 或 y^2/a^2 - x^2/a^2 =1 (a＞0,b＞0)
双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x 或y=±(a/b)x
∵一条渐近线方程为y=x
∴a=b
∵双曲线过点(4,-√10),
即16/a^2 -10/a^2 =1 或 10/a^2 -16/a^2 =1
∴a^2=6或a^2=-6
∵a＞0,b＞0
∴a^2=6=b^2
∴双曲线方程:x^2/6 - y^2/6 =1设点P（x,y）则|PA|²=x²＋﹙y－2﹚²由双曲线方程得：x²－y²=6得 x²＝6＋y²则|PA|²=6＋y²＋﹙y－2﹚²=2y²－4y＋10=2﹙y－1﹚²＋8当且仅当y＝1时,|PA|最小,值为 根号8.点P坐标为（根号6,1）或（﹣根号6,1）