题目

已知F₁、F₂为双曲线C:x²-y²=1的左、右焦点，点P在C上，∠F₁PF₂=60°，则|PF₁|•|PF₂|=（　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

提问时间：2020-06-13

答案

法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=

2

，
由余弦定理得
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

⇒cos60°=

(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

⇒

1

2

=

22+2|PF1||PF2|-(2 2 )2

2|PF1||PF2|

∴|PF₁|•|PF₂|=4．
法2；  由焦点三角形面积公式得：S△F1PF2=b2cot

θ

2

=12cot

60°

2

=

3

=

1

2

|PF1||PF2|sin60°=

1

2

|PF1||PF2|

3

2

∴|PF₁|•|PF₂|=4；
故选B．

解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF₁|•|PF₂|的值．
解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF₁|•|PF₂|的值．

本题考点：双曲线的定义；余弦定理．

考点点评：本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．