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题目
F1,F2为双曲线
x2
a2
y2
b2
=1
的左右焦点,过 F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,若∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程.

提问时间:2020-06-13

答案
在Rt△PF2F1中,设|PF1|=d1,|PF2|=d2,∵∠PF1F2=30°
d1=2d2
d1d2=2a
∴d2=2a
∵|F2F1|=2c
∴tan30°=
2a
2c

a
c
=
3
3
,即
a2
a2+b2
1
3

(
b
a
)
2
=2

b
a
=
2

∴双曲线的渐近线方程为y=±
2
x
求此双曲线的渐近线方程即求
b
a
的值,这和求双曲线离心率是一样的思路,只要在直角三角形PF2F1中由双曲线定义找到a、b、c间的等式,再利用c2=a2+b2即可得
b
a
的值

双曲线的简单性质.

本题考查了双曲线的定义及其几何性质,求双曲线渐近线方程的思路和方法,恰当利用几何条件是解决本题的关键

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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