题目

若过点（1,-3）的直线与双曲线x^2-y^2=4有且只有一个公共点,求此直线的斜率k的值

提问时间：2020-06-13

答案

若过点（1,-3）的直线与双曲线x²-y²=4有且只有一个公共点,求此直线的斜率k的值
双曲线x²/4+y²/y=1是一条等轴双曲线,其a=b=2,故其渐近线为y=±x；故过点(1,-3)的直
线平行于这两条渐近线的时候,也就是其斜率k=±1时,与该双曲线必都只有一个交点.
另外,过(1,-3）还可以作双曲线的两条切线,为此,设该直线的方程为y=k(x-1)-3=kx-(k+3)；
代入双曲线方程得x²-[kx-(k+3)]²-4=(1-k²)x²+2k(k+3)x-(k+3)²-4=0；
因为只有一个交点,故其判别式：
Δ=4k²(k+3)²+4(1-k²)[(k+3)²+4]=0
化简得(k+3)²+4(1-k²)=k²+6k+9+4-4k²=-3k²+6k+13=0,即有3k²-6k-13=0
于是得k=(6±√192)/6=(6±8√3)/6=1±(4/3)√3
结论：k=±1或k=1±(4/3)√3)
希望对你能有所帮助.