题目

设双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),其相应的实轴长为4根号3,焦点到渐近线的距离为根号3.
（1）求此双曲线的方程。
（2）已知y=根号3/3x-2与双曲线的右支交于M、N两点，且双曲线的右支上存在点D，使得向量OM+向量ON=t向量OD，求实数t的值和点D的坐标

提问时间：2020-06-13

答案

1、2a=4√3,
a=2√3,
设一条渐近线与X轴夹角为θ,
tanθ=b/a,
secθ=√[1+(tanθ)^2]=(1/a)√(a^2+b^2)=c/a,
cosθ=a/c,
sinθ=√(c^2-a^2)/c=b/c,(1)
设焦点至渐近线距离为d,
sinθ=d/c(2),
比较（1）和（2）式,
b/c=d/c,
∴b=d=√3,即焦点到渐近线的距离就是虚半轴的长度,
∴双曲线方程为：x^2/12-y^2/3=1.
2、设M坐标为（x1,y1),N坐标为（x2,y2),
D坐标为（x0,y0),
向量OM=（x1,y1),
向量ON=（x2,y2),
向量OD=（x0,y0),
向量OM+ON=（x1+x2,y1+y2),
向量OM+ON=tOD,
x1+x2=tx0,
y1+y2=ty0,
直线方程：y=√3x/3-2,
代入双曲线方程,
x^2/12-(1/3)(√3x/3-2)^2=1,
x^2-16√3x+84=0,
根据韦达定理,
x1+x2=16 √3,
x1x2=84,
y1=√3x1/3-2,
y2=√3x2/3-2,
y1+y2=（√3/3)(x1+x2)-4=12,
x1+x2=tx0=16√3,
x0=16√3/t,
y1+y2=ty0=12,
y0=12/t,
∵D(x0,y0)在双曲线上,代入双曲线方程,
(16√3/t)^2/12-(12/t)^2/3=1,
64/t^2-48/t^2=1,
16/t^2=1,
t^2=16,
t=±4,因在右支,M和N点为正值,故舍去负值,
∴t=4,
x0=16√3/4=4√3,
y0=12/t=3,
∴t=4,
D点坐标为：（4√3,3）.