题目

设二项式(

x

+

3

x

)n展开式各项的系数和为 P，二项式系数之和为S，P+S=72，则正整数n=______，展开式中常数项的值为______．

提问时间：2020-06-13

答案

令二项式中的x为1得到各项系数之和P=4ⁿ
又各项二项式系数之和S=2ⁿ
∵P+S=72
∴4ⁿ+2ⁿ=72
解得n=3
所以二项式(

x

+

3

x

)n=(

x

+

3

x

)3
其展开式的通项为Tk+1＝3k

C

k 3

x

3−3k

2

令

3−3k

2

＝0得k=1
所以展开式中常数项的值为9
故答案为：3；9

给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数的和P；利用二项式系数和公式求出S，代入已知的等式，解方程求出n的值．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．

本题考点：二项式定理的应用．

考点点评：本题考查解决展开式的各项系数和问题常用的方法是赋值法、考查二项式系数的性质：二项式系数和为2ⁿ．