题目

怎么证明根号2是无理数
RT,要说出为什么,我可能不懂.

提问时间：2020-06-13

答案

反证法如下：
假如根号2是有理数,那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示,也就是m、n的最大公约数是1
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2,所以m^2是偶数
偶数的平方一定是偶数,反之亦然,若一个偶数是完全平方数,那它的平方根也一定是偶数,所以m是偶数
假设m=2k,k是整数.那么2*n^2=(2k)^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2,与上面同理
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数,那么m/n就不是最简分数,它们的最大公约数就不是1,至少2也是它们的公约数,很显然2>1,与原题设的1是它们的最大公约数矛盾
故根号2是无理数
提高一下,如何证明根号3也是无理数呢?楼主自己去考虑