题目

已知函数f(x)=1-2/3的x次方+1.(1)求函数f(x)的值域;(2)证明f(x)在定义域上是奇函数；
(3)判断函数f(x)在定义域上的单调性，并证明你的结论

提问时间：2020-06-13

答案

f（x）=1-2/(3^x+1)
(1)
3^x＞0
3^x+1＞1
0＜2/(3^x+1)＜2
-2＜-2/(3^x+1)＜0
-1＜1-2/(3^x+1)＜1
值域（-1,1）
（2）
3^x>0,所以定义域为R （任意实数）
f(x)=1-2/(3^x+1)=(3^x+1-2)/(3^x+1)=(3^x-1)/(3^x+1)
f(-x)=[3^(-x)-1]/[3^(-x)+1]=(1/3^x-1)/(1/3^x+1)=(1-3^x)/(1+3^x)=-(3^x-1)/(3^x+1)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
(3)
令a＜b
f(b)-f(a)=[1-2/(3^b+1)]-[1-2/(3a+1)]=2(3^b-3^a)/(3^b+1)(3^a+1)
∵a＜b
∴ 3^a＜3^b
又：3^a>0,3^b>0
∴ f(b)-f(a)=2(3^b-3^a)/(3^b+1)(3^a+1)
∴f(x)在R上是增函数