题目

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(ab∈R,a≠0)满足f（-x+5）=f（x-3）且方程f(x)=x有等根.求f(x)解析式；
已知二次函数f(x)=ax^2+bx(ab∈R,a≠0)满足f（-x+5）=f（x-3）且方程f(x)=x有等根.（1）求f(x)解析式；（2）是否存在实数m,n（m＜n）,使f（x）的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求m,n的值；如果不存在,说明理由.

提问时间：2020-06-13

答案

(1)
f(-x+5)=f(x-3)
a(x-5)^2+b(5-x)=a(x-3)^2+b(x-3)
a[(x-5)^2-(x-3)^2]+b[(5-x)-(x-3)]=0
a(x-5+x-3)(x-5-x+3)+b(8-2x)=0
2a(8-2x)+b(8-2x)=0
(2a+b)(8-2x)=0
x在定义域上任意取值,则只有2a+b=0 b=-2a
方程f(x)=x
ax^2-2ax=x
ax^2-(2a+1)x=0
x[ax-(2a+1)]=0
x=0或x=(2a+1)/a
两根相等
(2a+1)/a=0 a=-1/2 b=1
f(x)的解析式为f(x)=-x^2/2+x
(2)
f(x)=-x^2/2+x=(-1/2)(x-1)^2+1/2
函数对称轴为x=1
n≤1时,函数单调递增.
令f(m)=3m
3m=-m^2/2+m,整理,得m(m+4)=0 m=-4或m=0
f(n)=3n
n(n+4)=0 n=0或n=-4
m=-4,n=0满足题意.
m>1时,函数单调递减
令f(m)=3n f(n)=3m
3n=-m^2/2+m
3m=-n^2/2+n
6(n-m)=(n+m)(n-m)-(n-m)
整理,得
(n-m)(n+m-7)=0
n+m-7=0 n=7-m>1 1