题目
如果以抛物线y2=4x过焦点的弦为直径的圆截y轴所得的弦长为4,那么该圆的方程是______.
提问时间:2020-06-13
答案
设过焦点的直线与抛物线交点A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),圆心C即AB的中点(x0,y0),
由抛物线定义得,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=2x0+2,∴r=x0+1,
∵圆截y轴所得的弦长为4
∴由勾股定理得,r2=4+x02,即
解得x0=
,
∴r=
,
设过焦点的直线方程为x=ay+1,则
,
消去x得y2-4ay-4=0,∴y1+y2=4a,即y0=2a
消去y得x2-(2+4a2)x+1=0,∴x1+x2=2+4a2,即x0=1+2a2=
,解得a=±
,
∴y0=2a=±1,所以该圆的方程是(x-
)2+(y±1)2=
,
故答案是(x-
)2+(y±1)2=
.
由抛物线定义得,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=2x0+2,∴r=x0+1,
∵圆截y轴所得的弦长为4
∴由勾股定理得,r2=4+x02,即
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∴r=
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设过焦点的直线方程为x=ay+1,则
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消去x得y2-4ay-4=0,∴y1+y2=4a,即y0=2a
消去y得x2-(2+4a2)x+1=0,∴x1+x2=2+4a2,即x0=1+2a2=
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∴y0=2a=±1,所以该圆的方程是(x-
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故答案是(x-
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设直线与抛物线的交点坐标(x1,y1),(x2,y2),由抛物线定义可得半径r与圆心(x0,y0)的关系,再由圆截y轴弦长和勾股定理得r与圆心(x0,y0)的关系,从而解得r和x0.再设过焦点的直线方程为x=ay+1,联立抛物线方程,分别消去x,y得到x0、y0和a的关系,从而求出结果.
圆与圆锥曲线的综合.
此题考查抛物线的焦点弦公式AB|=x1+x2+p,以及直线与抛物线之间的关系,这也是新课改中新考纲中的要求.
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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