题目

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且|x₁-x₂|=2

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，求m的值，并求出此时方程的两根．

提问时间：2020-06-13

答案

（1）证明：∵△=（m+3）2-4（m+1）…1分=（m+1）2+4…3分∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0∴原方程总有两个不相等的实数根…4分（2）∵x1，x2是原方程的两根∴x1+x2=-（m+3），x1•x2=m+1…5分∵|x1-x2|=22∴（x1-...

（1）根据关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b²-4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1；然后由已知条件“|x₁-x₂|=2

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”可以求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．

本题考点：根的判别式；根与系数的关系．

考点点评：本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．