题目
已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.
提问时间:2020-06-13
答案
∵f(x)的定义域为[-2,2],
∴
,解得-1≤m≤
.①---------(4分)
又∵f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,
∴f(x)在[-2,2]上递减,-----------------(6分)
则f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)转化为:1-m>m2-1,
解得-2<m<1.②----------------(10分)
综合①②可知,-1≤m<1.-------------------(12分)
∴
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又∵f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,
∴f(x)在[-2,2]上递减,-----------------(6分)
则f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)转化为:1-m>m2-1,
解得-2<m<1.②----------------(10分)
综合①②可知,-1≤m<1.-------------------(12分)
由题意得奇函数f(x)在定义域[-2,2]内递减,将f(1-m)+f(1-m2)<0转化为:f(1-m)<f(m2-1),再由单调性列出关于实数m的不等式组,解不等式组即可得到实数m的取值范围.
函数奇偶性的性质.
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用,以及转化思想,解题过程中应注意定义域的取值范围,这是易忘的地方.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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