题目

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果

AC

AB

＝

BC

AC

提问时间：2020-06-13

答案

（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
则S△ADC=

1

2

AD•h，S△BDC=

1

2

BD•h，S△ABC=

1

2

AB•h，
∴

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，
∴

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

．
故直线CD是△ABC的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴s1=s2=

1

2

s，即

s1

s

≠

s2

s1

，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴S_△DFC=S_△DFE，
∴S_△ADC=S_△ADF+S_△DFC=S_△ADF+S_△DFE=S_△AEF，S_△BDC=S_{四边形BEFC}．
又∵

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

S四边形BEFC

S△AEF

．
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）
（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．

（9分）