题目
宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,则另一走廊的宽度至少是多少?
提问时间:2020-06-12
答案
如图,设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0<θ<
),
设另一走廊的宽为y,∵AB=
,BC=8a−
,∴y(θ)=BCsinθ=8asinθ−
(0<θ<
)
依题意必存在一个适当的0值使y最小.
由y′(θ)=8acosθ−
=8acosθ−
令y'=0得cos3θ=
,得csoθ=
,θ=
,
当cosθ<
时,y'<0,当cosθ>
时,y'>0,
∴当cosθ=
,即θ=
时,ymin3
a,即另一走廊的宽度至少是3
a
π |
2 |
设另一走廊的宽为y,∵AB=
a |
cosθ |
a |
cosθ |
asinθ |
cosθ |
π |
2 |
依题意必存在一个适当的0值使y最小.
由y′(θ)=8acosθ−
asin2θ+acos2θ |
cos2θ |
a |
cos2θ |
令y'=0得cos3θ=
1 |
8 |
1 |
2 |
π |
3 |
当cosθ<
1 |
2 |
1 |
2 |
∴当cosθ=
1 |
2 |
π |
3 |
3 |
3 |
设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0<θ<
),根据图可知y(θ)=BCsinθ=8asinθ−
(0<θ<
)整理可得函数.“如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,求另一走廊的宽度至少是多少”,关键看函数y(θ)的最小值,先研究其单调性,用导数法,先求导,由y'(θ)>0,y(θ)为增函数,可知当 θ=
时,y(θ)有最小值,即可得到结论.
π |
2 |
asinθ |
cosθ |
π |
2 |
π |
3 |
在实际问题中建立三角函数模型.
本题主要考查函数模型的建立与应用,解答关键是还利用三角函数的定义求出函数表达式,再利用导数法求函数最值等.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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