题目

用0,1,2,3,4,5,6这7个数字,根据下列条件可以组合成多少个没有重复数字的数
（1）个位,百位都是偶数的四位数
（2）1,3,5 三个数字顺序不变的无重复数字的六位数
结果分别算到多少?我算到216 和240

提问时间：2020-06-12

答案

1）个位和百位都是偶数,那么因为个位和百位比较特殊,所以我们用特殊位置法：
个位和百位都是偶数,那么我们现在0,2,4,6这四个偶数中选择2个排在个位和百位,然后其他几个数字任意排列,这里又要分两种情况考虑：
a)个位和百位中有一个0,那么先把0放在个位或者百位C(2,1)=2,然后剩下3个中选择一个偶数放在另外一个位置上C（3,1）=3
最后把剩下的五个数选择放在剩余位置上全排列A(5,2)=20
所以这种情况下的个数=2*3*20=120
b)个位和百位中没有一个是0,那么在三个偶数中选择两个放在个位和百位上全排列有A(3,2)=6,然后千位上从剩下的4个(因为要除去0)中选择一个有C(4,1)=4,最后十位上从剩下的4个树种选择一个C(4,1)=4
所以这种情况下的个数=6*4*4=96
因为满足题目的个数=120+96=216个,
2）因为要是我们不考虑1,3,5的顺序的话,我们的个数得到为
先从除了0的6位中心选择一个放在最高位C(6,1)=6,然后再把剩下的6为全排列在后面的5位上为A(6,5)
所以不考虑顺序的个数=6*A(6,5)
然而里面的数字包括了1,3,5 三个数的任意顺序,总共的顺序=A(3,3)
而满足题目的只有一种,所以满足题目的个数=6*A(6,5)/A(3,3)=720个