题目
在△ABC中,AB=AC=2,BC=
-1,∠A=36°,BD平分∠ABC,交于AC于D.试说明点D是线段AC的黄金分割点.
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5 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1ad5ad6eddc451da9d5c8068b5fd5266d116328e.jpg)
提问时间:2020-06-12
答案
证明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=
(180°-36°)=72°,
∵BD平分∠ABC,交于AC于D,
∴∠DBC=
×∠ABC=
×72°=36°,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1ad5ad6eddc451da9d5c8068b5fd5266d116328e.jpg)
∴∠A=∠DBC,
又∵∠C=∠C,
∴△BCD∽△ABC,
∴
=
∵AB=AC,
∴
=
,
∵AB=AC=2,BC=
-1,
∴(
-1)2=2×(2-AD),
解得AD=
−1,
AD:AC=(
−1):2.
∴点D是线段AC的黄金分割点.
∴∠ABC=
1 |
2 |
∵BD平分∠ABC,交于AC于D,
∴∠DBC=
1 |
2 |
1 |
2 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1ad5ad6eddc451da9d5c8068b5fd5266d116328e.jpg)
∴∠A=∠DBC,
又∵∠C=∠C,
∴△BCD∽△ABC,
∴
BC |
AB |
CD |
BC |
∵AB=AC,
∴
BC |
AC |
CD |
BC |
∵AB=AC=2,BC=
5 |
∴(
5 |
解得AD=
5 |
AD:AC=(
5 |
∴点D是线段AC的黄金分割点.
根据等腰三角形的两底角相等以及角平分线的定义求出∠DBC=36°,从而证明△BDC与△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式,代入数据计算出AD的值,根据数据即可判定点D是线段AC的黄金分割点.
黄金分割.
本题考查了学生黄金分割点的证明,把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,它们的比值( 5−12)叫做黄金比.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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