题目

设f(x)=log1/2(10-ax),其中a为常数,f(3)=-2
(1)a的值
(2)若对于任意的x∈〔3,4〕,不等式f(x)＞(1/2)^x+m,求实数m的取值范围

提问时间：2020-06-08

答案

解:1 .f(3)=-2
带入得: log1/2(10-3a)=-2 解a=2
2.对于任意的x∈〔3,4〕,不等式f(x)＞(1/2)^x+m
可转化为f(x)-(1/2)^x＞m
设F(x)= f(x)-(1/2)^x= log1/2(10-2x)- (1/2)^x
现在只需求对于任意的x∈〔3,4〕F(x) ＞m,
我们只需m ＜F(x)min
因为根据复合函数的单调性可知:10-2x在区间内是减函数, 所以log1/2(10-2x)在区间内是增函数,而(1/2)^x在区间是减函数, -(1/2)^x在区间内是增函数,
所以F(x)在区间内为增函数,即F(x)min= F(3)
即m ＜F(3)=-17/8
m的取值范围(-∞, -17/8)