题目

证明方程x³-3x+c=0在[0，1]上至多有一实根．

提问时间：2020-06-06

答案

证明：设f（x）=x³-3x+c，则f'（x）=3x²-3=3（x²-1）．
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0恒成立．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
∴f（x）的图象与x轴最多有一个交点．
因此方程x³-3x+c=0在[0，1]上至多有一实根

若能证明方程相应的函数在区间[0，1]上单调函数则可证明相应方程在[0，1]上至多有一实根，故解决问题的方案是先证其单调性，判断方程相应函数的性质．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查用函数的性质来探究方程在某一个区间里的根的个数问题，此转化甚妙．