题目

复变函数:柯西积分公式疑问
柯西积分公式是原函数和围线积分之间的一种关系,我有个疑问,看官拍砖:
有两个复函数f(x)和g(x),他们在x0点的数值相等.那么写出f(x)和g(x)包围x0点的柯西积分公式,围线相同.但是显然,f和g是两个不同的函数,它们在围线上面各处的取值也不一样,那么利用这两个围线积分如何能得到f(x0)=g(x0)呢?
我觉得很矛盾.

提问时间：2020-06-05

答案

由于此处在复平面内,个人觉得用x似乎不妥,故以下改为使用z.
首先,满足条件的f(z),g(z)符合一致连续.(曲线积分,设曲线为c,太难打了这里就不按规矩写了）
∮[f(z)/z-z0]dz=∮[f(z0)/z-z0]dz+∮{[f(z)-f(z0)]/z-z0}dz
同理g(z),在这里能看出∮[f(z)/z-z0]dz,此处无论f(z)是什么,这个积分的值仅与f(z)在z0处的值有关 (∮{[f(z)-f(z0)]/z-z0}dz根据闭路变形原理,该积分的值与其c的半径r无关）