题目

第一问：设等差数列{an}的前n项和为Sn 若a1=2/3,公差为1,Sk^2=(Sk)^2,求k
第二问:Sn=n^2,求an.
第三问：求等差数列{an},使Sk^2=(Sk)^2成立.

提问时间：2020-06-03

答案

1、由已知可得：an=2/3+(n-1)=(3n-1)/3
故前n项和公式：sn=n(a1+an)/2=n(3n+1)/6
sk^2=k^2(3k^2+1)/6,(sk)^2=k^2(3k+1)^2/36
令sk^2=(sk)^2,得：(3k^2+1)/6=(3k+1)^2/36
得k无解,即不存在k满足上述条件.
2、
n=1时,a1=s1=1
n>=2时,an=sn-s(n-1)=2n-1
这样,an=2n-1.
3、
sn=n(a1+an)/2
这样,sk^2=(sk)^2转换为：
k^2(a1+ak^2)/2=k^2(a1+ak)^2/4,化解为：
2*a1+2*ak^2=(a1+ak)^2
其中,ak=a1+(k-1)d,ak^2=a1+(k^2-1)d
4*a1+2(k^2-1)d=4*a1^2+4*a1(k-1)d+(k-1)^2*d^2
即可得关于k的方程：
(d^2-2)*k^2+[4*a1*d-2*d^2]dk+4*a1^2-4*a1-4*a1*d-d^2=0
若对任意的k都成立,则其各项系数均为0,无解；
如为存在k满足条件,则化为d的方程：
（k-1）^2*d^2+[4*a1(k-1)+2-2*k^2]d+4*a1^2-4*a1=0
若k=1,则4*a1^2-4*a1=0,即a1=0或1；