题目

若函数设f（x）在（a，b）上可导，且f′（x）=0，证明函数在该区间上是一个常数．

提问时间：2020-06-02

答案

证：设x₁，x₂是（a，b）内任意两点，且x₁＜x₂，在[x₁，x₂]上应用拉格朗日中值定理得
f（x₂）-f（x₁）=f′（ξ）（x₂-x₁）（x₁＜ξ＜x₂）
因为f′（ξ）=0，
所以f（x₂）-f（x₁）=0，即f（x₂）=f（x₁），
由x₁，x₂的任意性可知
f（x）在（a，b）内是一个常数．