题目

A是由20个两位数组成的集合,证明存在A1,B1包含于A,A1∩B1=空集且∑X（X∈A1）=∑X（X∈B1）

提问时间：2020-06-01

答案

假设题目不成立,则：
对于 A 中任意四个元素（从小到大） a1,a2,a3,a4,有：
a1 + a4 ≠ a2 + a3
即：
a2 - a1 ≠ a4 - a3
将 A 中元素从小到大每两个数字一组,分为 10 组,分别记为 T1(i),i ∈ [1,10].记 T1(i) 中两数之差为 d1(i),则 d1(i) 各不相同.则 ∑ d1(i) ≥ 1 + 2 + 3 + ...+ 10 = 55
将 A 中元素除去最小和最大的元素后,从小到大每两个数字一组,分为 9 组,分别记为 T2(i),i ∈ [1,9].记 T2(i) 中两数之差为 d2(i),则 d2(i) 各不相同.则 ∑ d2(i) ≥ 1 + 2 + 3 + ...+ 9 = 45
所以 A 中最大元素与最小元素的差 = ∑d1(i) + ∑d2(i) ≥ 100 .
这与 A 中元素为两位数不符,假设不成立,题目得证.