题目

已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3）,其中a为常数．
若x∈[0,2]时,函数g（x）=f（x）+f '（x）在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围．
已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．
若x∈[0，2]时，函数g（x）=f（x）+f '（x）在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

提问时间：2020-05-31

答案

（I）∵f（x）=ax3-3x2,∴f'（x）=3ax2-6x,
∵x=1是f（x）的一个极值点,∴f'（1）=3a-6=0,
∴a=2．
（II）g（x）=ax3+3（a-1）x2-6x（a＞0）
g'（x）=3ax2+6（a-1）x-6,△=36（a-1）2+72a=36（a2+1）,
∴f'（x）=0有两个实根,设这两个实根为x1,x2,
则 x1x2=-2a＜0,
设x1＜0＜x2,当0＜x2＜2时,g（x2）为极小值,
所以g（x）在[0,2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x2≥2时,g（x）在[0,2]上单调递减,g（x）的最大值为g（0）,
所以g（x）在[0,2]上的最大值只能为g（0）或g（2）,
又已知g（x）在x=0处取得最大值,所以g（0）≥g（2）,
即 0≥20a-24,解得a≤65,∴ 0＜a≤65