题目

大一数学：无理数指数幂通过确界原理定义后,得到的到底是一个有理数指数幂还是无理数指数幂?

提问时间：2020-05-31

答案

楼上的想法可以,相当于用一个有理数序列去逼近这个无理数,但并没有明确地回答提问者的问题.你这个问题是有问题的.无理数指数幂当然是无理数指数幂.你想想以前从整数次幂是如何扩充定义到有理次幂的呢?以底数a>1的情形说明一下.设x是一个无理数,我们是这样定义a^x的：首先把小于x的所有有理数r找出来（当然需要在实数域上先引入序关系）,然后我们把所有的这些“a^r”做成一个集合A={a^r}.因为有理次幂是已经有定义的,所以A中的元素是确定的,且显然A非空,是实数集R的一个子集.又因为对于任意的一个无理数x,我们总可以找到一个比它大的有理数t,这样根据有理次幂的性质就有a^r