题目

证明：定义于对称区间（-a,a）内的任意函数f(x)可以表示成一个偶函数与奇函数之和

提问时间：2020-05-29

答案

1. 证明,可以构成任意初等函数f(x)的奇偶函数的存在性.
对于定义域中函数 f(x) 可以表示为无限点构成的分段函数.
对于任意一点 x0 均可表达成 f(x0) = y0 = g(x0) + h(x0) ...
对于其原点对称点 -x0,f(-x0) = y1 = g(-x0) + h(-x0)（假定定义域是对称的）
这里若限定 g(x0) = g(-x0), h(x0) = -h(-x0) ...
则：
f(x0) = g(x0) + h(x0)
f(-x0) = g(x0) - h(x0)
g(x0) = g(-x0) = [f(x0) + f(-x0)]/2 ..; h(x0) = -h(-x0) = [f(x0) - f(-x0)]/2
由于x0 在定义域内不失一般性,因此对于整个对称的定义域均有上面的式子成立,写成一般形式有：
g(x) = g(-x) = [f(x) + f(-x)]/2 .. h(x) = -h(-x) = [f(x) - f(-x)]/2
因此,这样的奇偶函数是存在的.
2 证明可表达的充分性.
由于,
g(x) = g(-x) = [f(x) + f(-x)]/2 在定义上为偶函数
h(x) = -h(-x) = [f(x) - f(-x)]/2 在定义上为奇函数
则 f(x) = g(x) + h(x) ...
顾,原命题得证.

附,证明奇偶函数存在是必须的.2.小点中只证明了充分性.1.小点证明了必要性.