题目

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项a1=-4,公差d=2,求满足S（k^2）=(Sk)^2 的正整数k; (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数k都有S（k^2）=(Sk)^2成立(提示：可用Sn=an^2+bn)
主要是第二小问。

提问时间：2020-05-25

答案

(1)
S(k²)=(Sk)²
k²a1+k²(k²-1)d/2=[ka1+k(k-1)d/2]²
a1=-4 d=2代入,整理,得
k²(k-3)=0
k>0,要等式成立,只有k=3
(2)
设Sn=an²+bn
a1=S1=a+b
S(k²)=(sk)²
a(k²)²+bk²=(ak²+bk)²
整理,得
(a²-a)k^4+2abk^3+(b²-b)k²=0
k>0,要对任意正整数k,等式恒成立,只有
a²-a=0
2ab=0
b²-b=0
解得a=0 b=0或a=0 b=1或a=1 b=0
a=0 b=0时,Sn=0 数列是各项均为0的常数数列.
a=0 b=1时,Sn=n,数列通项公式为an=1,数列是各项均为1的常数数列.
a=1 b=0时,Sn=n²,an=2n-1 a1=2-1=1,数列是以1为首项,2为公差的等差数列.