题目

证明：定义在对称区间（-k,k）上任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
证明过程如下,但是我不明白为什么要这样证明?
证明：设f(x)为定义在（-k,k）上的任意一个函数,令
h(x) =[f(x)+f(-x)]/2 '这里为什么要这样做,依据什么原理?
h(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2= h(x)
所以 h(x)为偶函数.
令 g(x) =[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2= -[f(x)-f(-x)]/2= -g(x)
所以g(x)为奇函数.
而 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2 =h(x)+g(x)
所以f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和

提问时间：2020-05-20

答案

要证f(x)可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和,可以设：f(x)=g(x)+h(x),这里g(x)是个奇函数,f(x)是一个偶函数,即 g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x);那么,f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x),于是,f(x)+f(-x)=2h(x),f(x)-f(-x)=2g(...