题目
已知函数f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常数.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,+∞)上的最小值.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,+∞)上的最小值.
提问时间:2020-05-09
答案
(Ⅰ)由f(x)=ex(x2+ax-a),可得f′(x)=ex[x2+(a+2)x].…(2分)
当a=1时,f(1)=e,f′(1)=4e.…(4分)
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.…(6分)
(Ⅱ)令f′(x)=ex[x2+(a+2)x]=0,解得x=-(a+2)或x=0.…(8分)
当-(a+2)≤0,即a≥-2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)≥0,所以f(x)是[0,+∞)上的增函数.
所以f(x)的最小值为f(0)=-a; …(10分)
当-(a+2)>0,即a<-2时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表
由上表可知函数f(x)的最小值为f(-(a+2))=
.…(13分)
当a=1时,f(1)=e,f′(1)=4e.…(4分)
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.…(6分)
(Ⅱ)令f′(x)=ex[x2+(a+2)x]=0,解得x=-(a+2)或x=0.…(8分)
当-(a+2)≤0,即a≥-2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)≥0,所以f(x)是[0,+∞)上的增函数.
所以f(x)的最小值为f(0)=-a; …(10分)
当-(a+2)>0,即a<-2时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表
x | 0 | (0,-(a+2)) | -(a+2) | (-(a+2),+∞) |
f′(x) | 0 | - | 0 | + |
f(x) | f(0) | ↘ | f(-(a+2)) | ↗ |
a+4 |
ea+2 |
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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