题目

已知a、b为常数，且a≠0，y=f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m、n，（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？

提问时间：2020-05-09

答案

（1）∵方程ax²+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）²=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴a＝−

1

2

，∴f（x）的解析式为f(X)＝−

1

2

(x−1)2+

1

2

；
（2）∵f(X)＝−

1

2

(x−1)2+

1

2

≤

1

2

，∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴f（x）在[m，n]上单调递增，
若满足题设条件的m，n存在，则

f(m)＝2m f(n)＝2n

，∴

m＝−2 n＝0

即这时定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

（1）由于方程f（x）=x有等根，所以可求b=1，利用f（2）=0可求a＝−12，故函数解析式可求；（2）利用函数的最大值可知f（x）在[m，n]上单调递增，从而可建立方程组，故满足条件的m，n存在．

本题考点：函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了二次函数解析式的运用以，涉及分类讨论，转化思想．