题目

若m>0,n>0,m的3次方加n的3次方=2.用反证法证明：m+n小于等于2
设a不等于b,解关于x的不等式a的平方x加b的平方(1-x)大于等于[ax+b(1-x)]平方

提问时间：2020-05-09

答案

证明：假设m+n＞2
则2=m^3+n^3=(m+n)^3-4mn*(3/4)(m+n)≥(m+n)^3-(m+n)^2*(3/4)(m+n)
=[(m+n)^3]/4＞(2^3)/4=2
2＞2显然不正确
故假设不对,故原命题成立
a^2x+b^2(1-x)≥[ax+b(1-x)]^2
等价于
[x+(1-x)][a^2x+b^2(1-x)]≥[ax+b(1-x)]^2
此为柯西不等式,由柯西不等式要求
x(1-x)≥0
故0≤x≤1
（证明：左右两边展开,合并同类项化简得
(a^2+b^2)x(1-x)≥2abx(1-x)
移项得(a-b)^2x(1-x)≥0
由于(a-b)^2＞0
故x(1-x)≥0）