题目

已知对应法则f：P（m，n）→P′（

m

，

n

）（m＞0，n＞0）．现有A（9，3）→A′，B（3，9）→B′．M是线段AB上的一个动点，M→M′，当M在线段AB上从A开始运动到B结束时，点M′从A′运动到B′，则M′所经过的路线长为 ___ ．

提问时间：2020-05-08

答案

由题意知AB的方程为：AB：x+y=12，3≤x≤9，
设M的坐标为（x₀，y₀），因为M在AB上，可以得到x₀+y₀=12，3≤x≤9
而由题意可知，M′的坐标为（x，y），则x=

x0

，y=

y0

，
∴M′的轨迹满足的方程就是x²+y²=12，其中-

3

≤x≤3
因为要求x＞0，y＞0，所以M′轨迹的两个端点是A（

3

，3）和B（3，

3

）
∴∠AOx=30°，∠BOx=60°，即M′的轨迹为圆心角为30°的弧，
∴M′所经过的路线长为

π

6

×

12

=

3 π

3

故答案为：

3 π

3

确定AB的方程，求出M′的轨迹满足的方程，利用弧长公式，即可求得结论．

本题考点：两点间的距离公式；映射．

考点点评：本题考查轨迹方程的确定，考查弧长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．