题目

关于x的方程2^x=a²+a在（-∞，1]上有解，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-05-07

答案

∵x∈（-∞，1]，
∴y=2^x∈（0，2]，
又关于x的方程2^x=a²+a在（-∞，1]上有解，
∴0＜a²+a≤2．
即

a2+a＞0，① a2+a≤2，②

解①得a＞0或a＜-1；
解②得-2≤a≤1．
由①②得：-2≤a＜-1或0＜a≤1．
故答案为：[-2，-1）∪（0，1]．

由指数函数的性质可知，当x∈（-∞，1]，y=2^x∈（0，2]，从而得到关于a的不等式组，解之即可．

本题考点：一元二次不等式的解法；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．

考点点评：本题考查指数函数的性质，考查一元二次不等式组的解法，得到0＜a²+a≤2是关键，也是难点，属于中档题．