题目

抛物线是什么?标准方程式是?各个字母表示什么?
右开口抛物线:y^2=2px
左开口抛物线:y^2=-2px
上开口抛物线:y=x^2/2p
下开口抛物线:y=-x^2/2p

提问时间：2020-05-07

答案

1、定义
平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线.另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线".
定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.
以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥,可得一个圆,如果倾斜这个平面直至与其一边平行,就可以做一条抛物线.
2.抛物线的标准方程
右开口抛物线:y^2=2px
左开口抛物线:y^2=-2px
上开口抛物线:y=x^2/2p
下开口抛物线:y=-x^2/2p
3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)
离心率:e=1
焦点:(p/2,0)
准线方程l:x=-p/2
顶点:(0,0)
4.它的解析式求法：
三点代入法
5.抛物线的光学性质:
经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.
6、其他
抛物线：y = ax* + bx + c
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x-h）* + k
就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
7.用抛物线的对称性解题
我们知道,抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形,它的对称轴是直线x = - b/ 2a ,它的顶点在对称轴上.解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,则常可以给出简捷的解法.
例1 已知抛物线的对称轴是x =1,抛物线与y轴交于点（0,3）,与x轴两交点间的距离为4,求此抛物线的解析式.
分析 设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c .若按常规解法,则需要解关于a、b、c的三元一次方程组,变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性,解法就简捷了.因为抛物线的对称轴为x =1,与x轴两交点间的距离为4,由抛物线的对称性可知,它与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点.于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）.又因为抛物线与y轴交于点（0,3）,所以3 = -3a.故a =-1.
∴y = -（x+1）（x-3）,即
y = - x2 + 2x +3.
例2 已知抛物线经过A（-1,2）、B（3,2）两点,其顶点的纵坐标为6,求当x =0时y的值.
分析 要求当x =0时y的值,只要求出抛物线的解析式即可.
由抛物线的对称性可知,A（-1,2）、B（3,2）两点是抛物线上的对称点.由此可知,抛物线的对称轴是x = 1.故抛物线的顶点是（1,6）.于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6.因为点（-1,2）在抛物线上,所以4a + 6 = 2.故a = -1.
∴y = -（x-1）2+ 6,即
y = - x2 + 2x +5.
∴当x =0时,y = 5.
例3 已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4,与y轴交于点C,其顶点为（-1,4）,求△ABC的面积.
分析 要求△ABC的面积,只要求出点C的坐标即可.为此,需求出抛物线的解析式.由题设可知,抛物线的对称轴是x = -1.由抛物线的对称性可知,A、B两点的坐标分别为（-3,0）、（1,0）.故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）].
∵点（1,0）在抛物线上,
∴4a + 4 = 0.∴a = -1.
∴y = -（x+1）2+ 4,即
y = - x2 - 2x +3.
∴点C的坐标为（0,3）.
∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6.
例4 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4,与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点,且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根,求四边形ABCD的面积.
分析 要求四边形ABCD的面积,求出A、B两点的坐标即可.为此,要求出抛物线的解析式.由题设可知,C、D两点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）.由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴是x = 1.故顶点A的坐标是（1,4）.从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）].
∵点（-1,0）在抛物线上,
∴4a + 4 = 0.故a = -1.
∴y = -（x-1）2+ 4,即
y = - x2 + 2x +3.
∴点B的坐标为（0,3）.
连结OA ,则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9