题目

题型：北京同步题难度：来源：

质谱分析技术已广泛应用于各前沿科学领域。汤姆孙发现电子的质谱装置示意如图，M、N为两块水平放置的平行金属极板，板长为L，板右端到屏的距离为D，且D远大于L，O"O为垂直于屏的中心轴线，不计离子重力和离子在板间偏离O"O的距离，以屏中心O为原点建立xOy直角坐标系，其中x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。
(1)设一个质量为m₀、电荷量为q₀的正离子以速度v₀沿O"O的方向从O"点射入，板间不加电场和磁场时，离子打在屏上O点。若在两极板间加一沿+y方向场强为E的匀强电场，求离子射到屏上时偏离O点的距离y₀；
(2)假设你利用该装置探究未知离子，试依照以下实验结果计算未知离子的质量数。
上述装置中，保留原电场，再在板间加沿-y方向的匀强磁场。现有电荷量相同的两种正离子组成的离子流，仍从O"点沿O"O方向射入，屏上出现两条亮线，在两线上取y坐标相同的两个光点，对应的x坐标分别为3.24 mm和3.00 mm，其中x坐标大的光点是碳12离子击中屏产生的，另一光点是未知离子产生的。尽管入射离子速度不完全相同，但入射速度都很大，且在板间运动时O"O方向的分速度总是远大于x方向和y方向的分速度。

答案

解：(1)离子在电场中受到的电场力F_y=q₀E ①
离子获得的加速度 ②
离子在板间运动的时间 ③
到达极板右边缘时，离子在+y方向的分速度v_y=a_yt₀ ④
离子从板右端到达屏上所需时间 ⑤
离子射到屏上时偏离O点的距离y₀=v_yt₀"
由上述各式，得 ⑥
(2)设离子电荷量为q，质量为m，入射时速度为v，磁场的磁感应强度为B，磁场对离子的洛伦兹力F_x=qvB ⑦
已知离子的入射速度都很大，因而离子在磁场中运动时间很短，所经过的圆弧与圆周相比很小，且在板间运动时，O"O方向的分速度总是远大于在x方向和y方向的分速度，洛伦兹力变化甚微，故可作恒力处理，洛伦兹力产生的加速度 ⑧
a_x是离子在x方向的加速度，离子在x方向的运动可视为初速度为零的匀加速直线运动，到达极板右端时，离子在x方向的分速度 ⑨
离子飞出极板到达屏时，在x方向上偏离O点的距离 ⑩
当离子的初速度为任意值v时，离子到达屏上时的位置在y方向上偏离O点的距离为y，考虑到⑥式，得
由⑩、两式得
其中
上式表明，k是与离子进入板间初速度无关的定值，对两种离子均相同。由题设条件知，x坐标3.24 mm的光点对应的是碳12离子，其质量为m₁=12 u，x坐标3.00 mm的光点对应的是未知离子，设其质量为m₂，由式代入数据可得m₂≈14 u
故该未知离子的质量数为14