题目

题型：东城区一模难度：来源：

回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，如图所示．它的核心部分是两个D形金属盒，两盒相距很近（缝隙的宽度远小于盒半径），分别和高频交流电源相连接，使带电粒子每通过缝隙时恰好在最大电压下被加速．两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒面，带电粒子在磁场中做圆周运动，粒子通过两盒的缝隙时反复被加速，直到最大圆周半径时通过特殊装置被引出．若D形盒半径为R，所加磁场的磁感应强度为B．设两D形盒之间所加的交流电压的最大值为U，被加速的粒子为α粒子，其质量为m、电量为q．α粒子从D形盒中央开始被加速（初动能可以忽略），经若干次加速后，α粒子从D形盒边缘被引出．求：
（1）α粒子被加速后获得的最大动能E_k；
（2）α粒子在第n次加速后进入一个D形盒中的回旋半径与紧接着第n+1次加速后进入另一个D形盒后的回旋半径之比；
（3）α粒子在回旋加速器中运动的时间；
（4）若使用此回旋加速器加速氘核，要想使氘核获得与α粒子相同的动能，请你通过分析，提出一个简单可行的办法．

答案

（1）α粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能．设此时的速度为v，有       qvB=m

v2

R

             
可得v=

qBR

m

α粒子的最大动能E_k=

1

2

mv2=

q2B2R2

2m

                           
（2）α粒子被加速一次所获得的能量为qU，α粒子被第n次和n+1次加速后的动能分别为
EKn=

1

2

mvn2=

q2B2Rn2

2m

=nqU             
 EKn+1=

1

2

mvn+12=

q2B2Rn+12

2m

=(n+1)qU        
可得　　    

Rn

Rn+1

=

n n+1

                                       
（3）设α粒子被电场加速的总次数为a，则
E_k=aqU=

q2B2R2

2m

          
可得         a=

qB2R2

2mU

            
α粒子在加速器中运动的时间是α粒子在D形盒中旋转a个半圆周的总时间t．
 t=a

T

2

                 
T=

2πm

qB

                 
解得
 t=

πBR2

2U

                                  
（4）加速器加速带电粒子的能量为E_k=

1

2

mv2=

q2B2R2

2m

，由α粒子换成氘核，有

q2B2R2

2m

=

( q 2 )2B12R2

2( m 2 )

，则B1=

2

B，即磁感应强度需增大为原来的

2

倍；
高频交流电源的周期T=

2πm

qB

，由α粒子换为氘核时，交流电源的周期应为原来的

2

2

倍．