题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图所示，为空间直角坐标系，其中y轴正方向竖直向上。在整个空间中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为、电荷量为q（q＞0）的带电小球从坐标原点O以速度v₀沿x轴正方向射出，重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。
（1）若在整个空间加一匀强电场，小球从坐标原点O射出恰好做匀速圆周运动，求所加电场的场强大小以及小球做匀速圆周运动第一次通过z轴的坐标；
（2）若改变第（1）问中所加电场的大小和方向，小球从坐标原点O射出恰好沿x轴做匀速直线运动，求此时所加匀强电场的场强大小；
（3）若保持第（2）问所加的匀强电场不变而撤去原有的磁场，小球从坐标原点O以速度v₀沿x轴正方向射出后，将通过A点，已知A点的x轴坐标数值为，求小球经过A点时电场力做功的功率。

答案

解：（1）设所加电场场强大小为E₁，由于带电小球从坐标原点O射出在电场和磁场共存的区域做匀速圆周运动，所以带电小球受到的电场力必定与重力平衡，有qE₁=mg
解得
设带电小球做匀速圆周运动的半径为R
根据牛顿第二定律和向心力公式
解得
带电小球第一次通过z轴的z坐标：z=－2R=－
（2）设所加电场场强大小为E₂，带电小球做匀速直线运动，它所受重力mg、洛伦兹力qv₀B以及电场力qE₂三力合力为零
因洛伦兹力沿z轴的负方向，重力沿y轴的负方向
所以电场力
解得
（3）当撤去磁场后，带电小球只受电场力和重力作用，这两个力的合力大小为qv₀B，方向指向Oz正方向，所以小球在平面做匀变速曲线运动
带电小球沿Ox轴正方向以v₀做匀速直线运动，小球从坐标原点O射出，运动到A点所用时间t=
带电小球沿Oz轴正方向做初速为零的匀加速直线运动，其加速度大小
带电小球到A点时沿Oz正方向的分速度大小为
因重力在这个过程中不做功，小球经过A点时，电场力做功的功率等于合外力在此时的瞬时功率
解得P_A=qv₀Bv_z=