题目

题型：不详难度：来源：

扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆，其简化模型如图所示：I、II两处的条形匀强磁场区域的宽度分别为L₁、L₂，边界竖直，I区域的右边界和II区域的左边界相距L，磁感应强度大小分别为B₁、B₂，方向相反且垂直纸面。一质量为m、电量为－q、重力不计的粒子，从靠***行板电容器的负极板处由静止释放，两极板间电压为U，粒子经电场加速后平行纸面射入I区域，射入时的速度方向与水平方向的夹角θ＝30°。
（1）当L₁＝L，B₁＝B₀时，粒子从I区域右边界射出时速度与水平方向的夹角也为30°，求B₀及粒子在I区域中运动的时间t₁；
（2）若L₂＝L₁＝L，B₂＝B₁＝B₀，求粒子在I区域中的最高点与II区域中的最低点之间的高度差h；
（3）若L₂＝L₁＝L，B₁＝B₀，为使粒子能返回I区域，求B₂应满足的条件；
（4）若L₁≠L₂，B₁≠B₂，且已保证粒子能从II区域的右边界射出，为使粒子从II区域右边界射出时速度与从I区域左边界射入时的方向总相同，求B₁、B₂、L₁、L₂之间应满足的关系式。

答案

（1）t₁＝ （2）h＝h₁＋h₂＋h₃＝(2－)L （3）B₂≥ （4）B₁L₁＝B₂L₂

解析

（1）在电场中，由动能定理有
qU＝mv₀²－0    ………………… ①（1分）
在磁场1区域中，粒子的运动轨迹如图1所示，

由几何关系有
L＝2R₀sinθ    ……………………… ②（1分）
由牛顿第二定律有
qv₀B₀＝m  ……………………… ③（1分）
由①②③解得：B₀＝    … ④（1分）
由运动学规律有
R₀·2θ＝v₀t₁    ……………………… ⑤（1分）
得：t₁＝    …………… ⑥（1分）
（2）粒子的运动轨迹如图2所示，

由几何关系有
h₁＝h₃＝R₀－R₀cosθ   …………… ⑦（2分）
h₂＝Ltanθ  ………………………… ⑧（2分）
故所求高度差
h＝h₁＋h₂＋h₃＝(2－)L  …… ⑨（1分）
（3）粒子的运动轨迹如图3所示，

由几何关系有
L＝R₂＋R₂sinθ    ………………… ⑩（2分）
由牛顿第二定律有
qv₀B₂＝m   …………………… ⑾（1分）
由①⑩⑾解得：B₂＝   … ⑿（1分）
所以满足条件为B₂≥   … ⒀（1分）
（4）粒子的运动轨迹如图4所示，

设粒子从I区域射出时与水平方向的夹角
为α，由几何关系有
L₁＝R₁sinθ＋R₁sinα     ………… ⒁（1分）
L₂＝R₂sinθ＋R₂sinα     ………… ⒂（1分）
或
L₁＝R₁sinθ－R₁sinα
L₂＝R₂sinθ－R₂sinα    
由牛顿第二定律有
qv₀B₁＝m    ………………… ⒃（1分）
qv₀B₂＝m    ………………… ⒄（1分）
由⒁⒂⒃⒄解得：B₁L₁＝B₂L₂ … ⒅（2分）
本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，难度较大，先根据电场力做功求得末速度，和几何关系求得半径，再由洛伦兹力提供向心力求得磁感强度大小，在两个磁场中由于磁场方向不同，偏转方向正好相反，先画出运动轨迹，再由几何关系求得半径大小，由洛伦兹力提供向心力列式求解