题目

题型：北京期末题难度：来源：

竖直平面内的轨道ABC由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道BC平滑连接组成，轨道放在光滑的水平面上。一个质量为m=1 kg的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初速度v₀=8 m/s冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由CB弧滑下后停在水平滑道AB的中点，已知轨道ABC的质量为M=3 kg。求：
（1）小物块和滑道相对静止时共同的速度；
（2）若小物块恰好不从C端离开滑道，圆弧滑道的半径R应是多大？
（3）若增大小物块的初速度，使得小物块冲出轨道后距离水平滑道AB的最大高度是2R，小物块的初速度v"₀应多大。

答案

解：（1）小物块冲上轨道的初速度设为v₀，最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为v₁，在这个过程中由系统动量守恒有mv₀=(M+m)v₁  ①
可得v₁=2 m/s②
（2）小物块冲上轨道到最终停在AB的中点，设物块与轨道间滑动摩擦力为f，由能量守恒得

若小物块恰好到达C端，此时它与轨道有共同的速度v₁，在此过程中系统总的动能减少转化为内能和物块的势能

由③、④解得，要使物块恰好不从C点离开滑道，圆弧半径应为R=0.8m  ⑤
（3）设物块以初速度v"₀上轨道，可以达到的最大高度为2R，物块从C点离开轨道，其水平方向的速度总与轨道速度相等，达到最高点时，物块水平方向跟轨道的速度相等设为v₂，则有mv"₀=(m+M)v₂  ⑥

由⑥、⑦可得v"₀=9.25 m/s  ⑧