题目

题型：北京难度：来源：

雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m₀，初速度为v₀，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m₁．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m₂、m₃…m_n…（设各质量为已知量）．不计空气阻力．
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n；
（2）若考虑重力的影响，a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v_n′；b．求第n次碰撞后雨滴的动能

1

2

mnv

′

2n

．

答案

（1）不计重力，全过程动量守恒，
     m₀v₀=m_nv_n
     得：vn=

m0

mn

v0
（2）考虑重力的影响，雨滴下落过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒，
  a、第一次碰撞前 v12=v02+2gL，V1=

V02+2gL

     第一次碰撞后 m₀v₁=m₁V_n′
  Vn′=

m0

m1

v1=

m0

m1

v02+2gL

…①
  b、第2次碰撞前  v22=v′12+2gL
     利用①式化简得：v22=(

m0

m1

)2 v02+(

m02+m12

m12

)2gL…②
   第2次碰撞后，利用②式得：v′22=(

m1

m2

)2v22=(

m0

m2

)2v02+(

m02+m12

m2 2

)2gL
   同理第三次碰撞后：v′32 =(

m0

m3

)2v02+(

m02+m12+m22

m32

)2gL
    以此类推…
    第n次碰撞后：v′n2=(

m0

mn

)2v02+(

n i=0 mi2

mn2

) 2gL 
    动能为：

1

2

 mnv′n2=

1

2mn

(m02v02+2gL

i=n

i=0

mi2)
答：（1）第n次碰撞后雨滴的速度vn=

m0

mn

v0
（2）a、第1次碰撞前、后雨滴的速度分别为V1=

V02+2gL

、Vn′=

m0

m1

v02+2gL

b、第n次碰撞后雨滴的动能

1

2

mnv′n2=

1

2mn

(m02v02+2gL

i=n

i=0

mi2)