题目

题型：不详难度：来源：

用质量为M的铁锤沿水平方向将质量为m、长为l的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度v₀击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离，在每次受击进入木板的过程中，钉所受的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的k倍（k>1).
（1）若敲过三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力；
（2）若第一次敲击使钉进入木板深度为l₁，问至少敲击多少次才能使钉全部进入木板？并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，l₁必须满足的条件.

答案

（1）
(2)n=,n为非整数，其取整加1；若恰为整数，则不加1.l₁>(1-)l

解析

（1）铁锤每次击钉的短暂过程动量守恒，则有Mv₀="(M+m)v              " ①
其一起运动的初动能
E_k=(M+m)v²=·                                              ②
设第一次进入木板过程中钉所受阻力为F，则第二次、第三次的阻力依次为kF、k²F，三次敲击后进入木板的深度依次为l₁、l₂和l₃.根据动能定理，有E_k=Fl₁=kFl₂=k²Fl₃       ③
l₂=l₁,l₃=l₁
l₁+l₂+l₃="l                                                                " ④
F==··(1++)=.                    ⑤
（2）设敲n次，钉全部进入木板，同理可得E_k=Fl₁=kFl₂=…=k^n-1Fl_n
l₁(1+++…+)="l                                                 " ⑥
=1+++…+=                                          ⑦
n=                                                       ⑧
若上式右边不是整数，n应为其取整加1；若恰为整数，则不加1.
⑦式右边随n增大而增大，但总是小于，因而当l₁太小时，无论多大的n也不能使⑦式成立，故要使钉能全部钉入木板，应有<,即l₁>(1-)l.           ⑨