题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，质量分别为3m和m，小球A带正电q，小球B带负电-2q，开始时两小球相距s₀，小球A有一个水平向右的初速度v₀，小球B的初速度为零，若取初始状态下两小球构成的系统的电势能为零，则
（1）试证明：当两小球的速度相同时系统的电势能最大，并求出该最大值；
（2）在两小球的间距仍不小于s₀的运动过程中，求出系统的电势能与系统的动能的比值的取值范围．

答案

（1）由于两小球构成的系统合外力为零，设某状态下两小球的速度分别为v_A和v_B，由动量守恒定律得 3mv₀=3mv_A+mv_B（1）
所以，系统的动能减小量为  △Ek=

1

2

3m

v

20

-

1

2

3m

v

2A

-

1

2

m

v

2B

（2）
由于系统运动过程中只有电场力做功，所以系统的动能与电势能之和守恒，考虑到系统初状态下电势能为零，故该状态下的电势能可表为
Epe=△Ek=

1

2

3m

v

20

-

1

2

3m

v

2A

-

1

2

m

v

2B

（3）
联立（1）、（3）两式，得 Epe=-6m

v

2A

+9mv0vA-3m

v

20

（4）
由（4）式得：当 vA=

3

4

v0时，系统的电势能取得最大值，而将（5）式代入（1）式，得 vA=vB=

3

4

v0（6）
即当两小球速度相同时系统的电势能最大，最大值为Epemax=

3

8

m

v

20

（7）
（2）由于系统的电势能与动能之和守恒，且初始状态下系统的电势能为零，所以在系统电势能取得最大值时，系统的动能取得最小值，为Ekmin=Ek0-Epemax=

1

2

3m

v

20

-

3

8

m

v

20

=

9

8

m

v

20

（8）
由于E_kmin＞E_pemax
所以在两球间距仍不小于s₀的运动过程中，系统的电势能总小于系统的动能．
在这过程中两种能量的比值的取值范围为0≤

Epe

Ek

≤

Epemax

Ekmin

=

1

3

（9）
答：（1）最大的电势能为Epemax=

3

8

m

v

20

．
（2）系统的电势能与系统的动能的比值的取值范围0≤

Epe

Ek

≤

1

3

．