题目

题型：江苏模拟难度：来源：

翼型降落伞有很好的飞行性能．它被看作飞机的机翼，跳伞运动员可方便地控制转弯等动作．其原理是通过对降落伞的调节，使空气升力和空气摩擦力都受到影响．已知：空气升力F₁与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，F₁=C₁v²；空气摩擦力F₂与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，F₂=C₂v²．其中C₁、C₂相互影响，可由运动员调节，满足如图b所示的关系．试求：
（1）图a中画出了运动员携带翼型伞跳伞后的两条大致运动轨迹．试对两位置的运动员画出受力示意图并判断，①、②两轨迹中哪条是不可能的，并简要说明理由；
（2）若降落伞最终匀速飞行的速度v与地平线的夹角为α，试从力平衡的角度证明：tanα=C₂/C₁；
（3）某运动员和装备的总质量为70kg，匀速飞行的速度v与地平线的夹角α约20°（取tan20°=4/11），匀速飞行的速度v多大？（g取10m/s²，结果保留3位有效数字）
（4）若运动员出机舱时飞机距地面的高度为800m、飞机飞行速度为540km/h，降落过程中该运动员和装备损失的机械能△E多大？

答案

（1）②轨迹不可能存在
①位置，三力可能平衡（或三力的合力可能与速度在一直线），运动员做直线运动
②位置，合力方向与速度方向不可能在一直线，所以不会沿竖直方向做直线运．



（2）由①位置的受力分析可知，匀速运动时，对重力进行分解，根据平衡条件得：
F₁=mgcosα=C₁v²
F₂=mgsinα=C₂v²
两式消去mg和v得tanα=C₂/C₁
（3）在图b中过原点作直线
正确得到直线与曲线的交点



C₂=2，C₁=5.5
根据F₂=mgsinα=C₂v²或F₁=mgcosα=C₁v²
得v=10.9m/s
（4）运动员和装备损失的机械能等于运动员和装备的动能和重力势能的减小量，
△E=mgH+

1

2

mv₀²-

1

2

mv²=（70×10×800+

1

2

×70×150²-

1

2

×70×10.9²）J=1.34×10⁶ J
答：（1）②轨迹是不可能的；
（2）以上已经证明；
（3）匀速飞行的速度是10.9m/s
（4）降落过程中该运动员和装备损失的机械能是1.34×10⁶ J．